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By N. Bourbaki

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce deuxième quantity du Livre d Algèbre commutative, septième Livre du traité, introduit deux notions fondamentales en algèbre commutative, celle d entier algébrique et celle de valuation, qui ont de nombreuses purposes en théorie des nombres et en géometrie algébrique. It traite également des anneaux de Krull ou de Dedekind. Il comprend les chapitres: 1. Entiers; 2. Valuations; three. Diviseurs.

Il contient également des notes historiques.

Ce quantity est une réimpression de l édition de 1965.

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Example text

Soient A un anneau, A' un anneau contenant A et entier sur A. Si 8' est le radical de A', 3' n A est le radical de A. Soit 8 le radical de A. Pour tout idéal maximal m' de Ar, m' n A est un idéal maximal de A (prop. , chap. VIII, $ 5, no 3, déf. 3). Inversement, soit x a %' n A ; pour tout idéal maximal m de A, il existe un idéal premier de A' au-dessus de m (th. 1) et cet idéal m' est nécessairement maximal (prop. l), donc on a x E nt' n A = m et par suite x e %. COROLLAIRE 4. - Soient A un anneau, A' un anneau contenant A et entier sur A, et f un homomorphisme de A dans un corps algébriquement clos L.

V, 5 10, mi0 6, cor. 1 du th. 3); dans le cas général, elle découle de ce que AL (resp. AT) est réunion des AZ(p' n K a ) (resp. AT($ n Ka)) avec les notations de la Remarque 2 : tout élément x E K' appartient à uni n 3% (resp. '(p') n 2%) il l'est aussi K, et s'il est invariant par par n Kp) n 3% (resp. v ( p ' n Kp) n 33) pour un fi convenable; donc il appartient d'après le début du raisonnement a L(KZ(p'n K&) c L ( K 7 (resp. à L(KT(p' n Kp)) c L(KT)). Supposons maintenant que L soit une extension galoisienne de K ; la restriction à L de tout o E g Z laisse alors invariant p(L) = p' n L, donc appartient au groupe de décomposition de p(L) par rapport à K.

Les hypothèses sur A et A' étant celles d u th. 3, soit p u n idéal premier de A. Les idéaux premiers de A' au-dessus de p sont les éléments m i n i m a u x de l'ensemble & des idéaux premiers de A' contenant pA'. E n effet, u n idéal premier d e A' au-dessus de p est minimal d a n s 8 , e n vertu d u no 1, cor. 1 de l a prop. 1. Inversement, soit q' u n élément minimal d e 6. Comme q' n A 3 p, le th. 3 montre qu'il existe u n idéal premier p' de A' au-dessus d e p tel que q' 3 pl. Comme p' contient FA', l'hypothèse faite sur q' entraîne que q' = pl, donc q' est au-dessus d e p.

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