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By N. Bourbaki

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Il existe une partie J de I telle que i∈I J Mi soit un supplémentaire de N. Le module N est isomorphe à j∈J Mj . d) Soit N un A-module. S’il existe un entier d > 0 tel que les modules Md et Nd soient isomorphes, alors les modules M et N sont isomorphes. e) Soient N et P des A-modules de longueur finie. Si les modules M⊕P et N⊕P sont isomorphes, alors M et N sont isomorphes. Un module de longueur finie est à la fois artinien et noethérien (VIII, p. 2, prop. 1). De plus, pour un module de longueur finie, il revient au même d’être indécomposable ou primordial (VIII, p.

Supposons maintenant l’anneau A commutatif, le A-module M de type fini et l’endomorphisme u surjectif. Démontrons que u est injectif. Soit x un élément de M tel que u(x) = 0. Choisissons une famille génératrice finie (xi )i∈I du A-module M et, pour tout i ∈ I, un élément yi de M tel que u(yi ) = xi . 27 (bij )(i,j)∈I×I et (cij )(i,j)∈I×I d’éléments de A telles que l’on ait ai xi , x= i∈I yj = bij xi , u(xj ) = i∈I cij xi i∈I pour tout j ∈ I. Soit A un sous-anneau noethérien de A contenant les éléments ai , bij et cij (VIII, p.

21 a) Soient I un ensemble fini, (Gi )i∈I une famille de sous-groupes de G et (gi )i∈I une famille d’éléments de G. Démontrer que si G est réunion de la famille (gi Gi )i∈I , l’un des sous-groupes Gi est d’indice fini dans G. b) Supposons que toute classe de conjugaison dans G distincte de {e} soit infinie et que l’anneau A soit intègre. Démontrer que si a et b sont deux idéaux bilatères non nuls de l’anneau A[G], on a ab = 0. (Choisir des éléments a = ag g et b = bg g de a et b avec ae = 0 et be = 0.

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